2011.04.01[統計][三門問題]

此門非彼門也

在公司上了些統計課程，這邊再詳述一下「三門問題」：在猜謎遊戲的最後，要得到汽車，必須從三道門後作選擇，規則如下，
在此先定為Rule1規則：

1. 有3道門可選擇，其中2道是羊，只有1道後面是汽車，一次只能選1道門。
2. 在你作了選擇之後，主持打開一道羊的門(主持人知道門後的選項，只會開羊的門)。
3. 最後給予機會，看要不要換剩下的那道門，或是不換。

• 那麼我們在意的是，「換選擇」會不會增加中汽車的機率？

昨天問過大家的看法是，『因為剩下兩道門，所以機率是一半一半，各1/2』，所以『換或不換』機率是相等的。

『因為剩下兩道門，所以機率是一半一半，各1/2』
上面這個結果，是跟我們一開始的規則是不同的，我舉例的以下規則才是這種情況，
在此定為Rule2規則：

1. 如果一開始不讓你選一道門。
2. 主持人開一道羊的門。
3. 剩兩道門給予選擇。

• 在這個規則下，『因為剩下兩道門，所以機率是一半一半，各1/2』，這個說法才是正確的。
• 注意到不同點了嗎，『一開始有選門跟沒選門的差別』；既然是有差別的，那麼我們開始思考，Rule1換或不換的機率，應該是跟Rule2不大一樣的吧。

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先說明一下機率的算法，以我們熟知的18啦骰子說明，1個骰子6個點數，假設我今天想知道偶數點出現的機率：

1. 就計算「偶數點的所有可能」：2、4、6共三種可能。
2. 再計算「全部的可能」：1、2、3、4、5、6共六種可能。
3. 我想知道的事的機率=「我想知道的事的所有可能」/「全部的可能 」, 在此便是3/6=1/2，大家應該都知道，那麼我就以這種方式解釋Rule1、Rule2的不同。

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以下開始分析~~
先解釋簡單的Rule2：

1. 全部可能就：汽車、羊，2種。
2. 我想知道的是得到汽車的機率=1/2(換跟不換都一樣)

再來是Rule1(我投影片的例子)：

1. 因為我一開始有選門，所以必須納入考量(以比較戲劇的說法，有點感覺蝴蝶效應，或是現在跑去影響過去，然後造成未來發生改變的感覺)。
2. 接下來就跟投影片說明的一樣~~
3. 參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。
4. 參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。
5. 參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。

6. 那麼「全部轉換的可能」：汽車、汽車、羊，共三種可能。
7. 我想知道的是轉換得到汽車的機率=2(2種可能是汽車)/3(換的機率)

6. 那如果想知道的是不轉換得到汽車的機率=1/3(全部可能是3~5項說明：山羊一號、山羊二號、汽車)

另外還有一種Rule3是：

1. 『主持人不知道門後是羊還是汽車』，
2. 當主持人選到汽車開出，就直接宣告參賽者沒車了。
3. 當主持人沒選到汽車時，看參賽者要不要換。

這Rule3我就不解釋了，有興趣就看參考網頁吧。

以上，希望能讓各位多理解一些。

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還是有同仁對這問題有興趣，至少那麼多字不算白打了，感動~~~

某同事提到我Rule1的第5點的說明，應該算

5.1參賽者挑汽車，主持人挑山羊一號。轉換將失敗跟。

5.2參賽者挑汽車，主持人挑山羊二號。轉換將失敗。

這邊就需要增加機率在裡面解釋了，重新寫3~5項如下：

3. 參賽者挑山羊一號，主持人「百分之百」挑山羊二號。轉換將贏得汽車。
4. 參賽者挑山羊二號，主持人「百分之百」挑山羊一號。轉換將贏得汽車。
5. 參賽者挑汽車，主持人「50%挑山羊一號」(因為還有二號)。轉換將失敗。
6. 參賽者挑汽車，主持人「50%挑山羊二號」(因為還有一號)。轉換將失敗。

我想知道的是轉換得到汽車的機率=(1*100%(可能1)+1*100%(可能2))/
                                                        1(可能1)+1(可能2)+1*50%(可能3)+1*50%(可能4))
                                                    =2/3

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以樹狀圖表示如下：
                                            |----
                  |--山羊一號------主持人挑山羊一號(100%)----轉換將贏得汽車：可能1
參賽者挑--|--山羊二號------主持人挑山羊二號(100%)----轉換將贏得汽車：可能2

                 |--汽車--------------|---主持人挑山羊一號(50%)----轉換得山羊二號：可能3
                                     |---主持人挑山羊二號(50%)---轉換得山羊一號：可能4

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參考網頁：
http://www.stat.nuk.edu.tw/prost/book2/p1/p1.htm